В этом материале рассмотрим определение многочлена, его составные части, научимся определять степень многочлена, приводить его в стандартный вид, производить математические действия между многочленами, а также выносить за скобки общий множитель.

Определение многочлена и его составляющих

Многочлен (полином) является математической функцией, которую можно описать общей формулой:

F(x) = C0  + C1X + … + CnXⁿ

Из формулы видно, что многочлен – это сумма одночленов.

Примеры одночленов: 0;  9;  -5;  3аb³;  x⁴∙2,5∙x∙(-7)∙y⁶;  -⅜∙х∙y³∙2x∙z

Обратите внимание, что любой одночлен -  это всегда только произведение двух или более множителей.

Те одночлены, из которых составлен многочлен, называются членами многочлена.

Одночлен также принято считать частным случаем многочлена.

Член многочлена без буквенной составляющей называют свободным членом многочлена.

Соответственно, многочлен из двух членов называется двучленом. Из трех членов – трёхчленом. И так далее.

Примеры многочленов: 3a + 4b³ – 9;  9y² – 7a;  15z + y⁵ – 4x⁸

Иногда может возникнуть вопрос: почему многочлен называют суммой одночленов, если в выражении присутствует знак «–»? Дело в том, что знак минуса относится к числовому коэффициенту одночлена.

Рассмотрим подробнее первый пример многочлена: 3a + 4b³ – 9. В нём:

3a – первый одночлен;

4b³ – второй одночлен;

– 9 – третий одночлен.

То есть данный пример можно переписать по правилу знаков так: 3a + 4b³ +(-9)

Ищем степень многочлена

Степенью многочлена называется наибольшая из степеней одночленов, которые его составляют.

Пример: x + 2y² + 4x²y + 7.

Как определить степень в данном многочлене?

Для этого определяем степень каждого одночлена:

x - первая степень (1)

2y² - вторая степень (2)

4x²y - третья степень (3)

7 - нулевая степень (0)

Наибольшая степень – третья. Таким образом, данный пример является многочленом третьей степени.

Приведение многочлена к стандартному виду

Чтобы привести многочлен к стандартному виду, стоит вспомнить  определение подобных одночленов.

Подобные одночлены – это те, которые имеют одинаковый состав букв и их степеней.

Пример: ad и 2ad; -5cb² и 3cb²

Таким образом, для приведения к стандартному виду одночлена следует:

• Привести каждый одночлен к стандартному виду
• Сделать приведение подобных одночленов

Пример:

4ab + 3∙5c² + 2ab – 7cc + 2xy

1. Сначала приведём к стандартному виду все одночлены этого многочлена:

4ab + 3∙5c² + 2ab – 7cc + 2xy = 4ab + 15c² + 2ab – 7c² + 2xy

1. Выделим подобные одночлены и разместим их рядом друг с другом:

4ab + 15c² + 2ab – 7c² + 2xy = 4ab + 2ab + 15c² - 7c² + 2xy

1. Завершаем действие: приводим многочлен к стандартному виду. Внимание: при приведении одночленов складываем и вычитаем только их числовые значения! Буквенные обозначения остаются неизменными!

4ab + 2ab + 15c² - 7c² + 2xy = 6 ab + 8 c²+2xy

Итак, первоначальный многочлен приобрел следующий вид:

4ab + 3∙5c² + 2ab – 7cc + 2xy = 6 ab + 8 c²+2xy

Раскрывая скобки, помните об использовании «правила знаков»: перемещая одночлены, перемещаете знак перед ними:

4ab + 10cd – 2ab + y = 4ab – 2ab + 10cd + y

Приведение многочлена к стандартному виду также называется упрощением алгебраического выражения.

Умножение многочлена на одночлен

Чтобы умножить многочлен на одночлен, надо каждый член многочлена умножить на этот одночлен, учитывая правило знаков.

Пример:

2ab ∙ (4c² – 3a³) = 2ab ∙ 4c² - 2ab ∙ 3a³ = 8abc² – 6a⁴b

Умножение многочлена на многочлен

Чтобы умножить многочлен на многочлен, надо:

1. Каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена.
2. Полученные значения сложить (здесь также используем «правило знаков»)

Пример:

(6a – 2b) ∙ (2a + b)

1. Следуя правилу, умножаем сначала первый член первой скобки на каждый член второй скобки. Далее умножаем второй член первой скобки на каждый член второй скобки:

6a ∙ 2a + 6a ∙ b – 2b ∙ 2a – 2b ∙ b = 12a² + 6ab – 4 ab – 2b²

1. Складываем полученные значения:

12a² + 6ab – 4 ab – 2b² = 12a² + 2ab - 2b²

Таким образом: (6a – 2b) ∙ (2a + b) = 12a² + 2ab - 2b²

Для перемножения трёх многочленов сначала следует перемножить между собой первые два многочлена, как это было только что рассмотрено, и результат записать в отдельные скобки. Далее: каждый член полученного результата перемножить на каждый член третьего многочлена по этому же принципу. Результаты сложить, используя «правило знаков».

Вынесение общего множителя за скобки

Для вынесения общего множителя за скобки делаем следующее:

1. Ищем число, на которое без остатка делятся все числовые коэффициенты каждого одночлена.
2. Ищем буквенные значения-множители, повторяющиеся в каждом одночлене. Выносим их за скобку в наименьшей степени.
3. Определяем многочлен, оставшийся в скобках.

Пример:

2ac – 4ab + 10a²

1. Число, на которое без остатка делятся все коэффициенты многочлена: 2
2. Общий буквенный множитель: a
3. Выносим за скобки найденные значения и вычисляем оставшийся многочлен:

2a ∙ (c – 2b + 5a)

1. Делаем проверку: 2a ∙ (c – 2b + 5a) = 2ac – 4ab + 10a²

Если, раскрывая скобки, мы получили исходное выражение, то, значит, общий множитель был найден правильно.

Остались вопросы?

Мы рассмотрели основные алгебраические действия, которые применяются при решении выражений с многочленами. Существуют и другие, например, деление многочлена на многочлен. Более подробную информацию об иных действиях между многочленами можно узнать на сайте с видеоуроками: http://interneturok.ru/. Здесь также представлено много полезной информации не только по алгебре и высшей математике, но и по другим предметам школьной программы.